Simon se demande s’il peut entendre une suite de nombres.

By in Activités, Parole d’expert, Simon se demande

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Netmath a pour mission d’aider chaque élève à découvrir et développer son propre potentiel mathématique avec plaisir.

Simon, technopédagogue et expert Netmath, vous propose dans « Simon se demande » d’aborder avec vos élèves une question du quotidien d’un point de vue des mathématiques. Une façon pour eux de se rendre compte que les maths peuvent être vraiment le fun lorsqu’il s’agit de mieux comprendre le monde qui les entoure.

Aujourd’hui, parlons des suites et séries !

 

 

Je connais les suites depuis un certain temps déjà, mais j’ai récemment réfléchi à une idée folle : est-ce que je peux entendre une suite de nombres? 

La première étape pour répondre à cette question est de définir clairement ce qu’est une suite!

 

En fait, c’est ce qu’on appelle une suite finie. Elle est finie parce qu’elle ne se continue pas à l’infini

 

Oh! Alors, voyons voir, comment je peux représenter le fait que la suite se poursuit aussi loin qu’on le veut!

Titi! Ce n’est pas simple de continuer à l’infini

Il doit bien y avoir une manière de noter qu’on va continuer loin, loin, loin, sans avoir à écrire chaque nombre de la suite ! Mmm?

En cherchant un peu, j’ai trouvé que pour noter qu’une suite se poursuit, on utilisait les points de suspension (…). 

J’ai l’impression que poser la question c’est y répondre. Imaginez que j’écris la suite suivante :

 

0, 1, … 

 

Comment pouvez-vous déduire le reste de la suite ? Voici quelques-unes des suites possibles qui commencent toutes par un 0 suivi d’un 1:

  • 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, …
  • 0, 1, 3, 7, 11, 16, …
  • 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, …

 

Laquelle choisir?

 

À l’inverse, ça devient vraiment trop long d’écrire 100 termes avant d’ajouter les points de suspension. 

 

En fait, la logique veut qu’on écrive juste assez de termes pour comprendre la régularité (souvent, 3 suffisent.). En effet, si on regarde les 3 suites qu’on avait en exemple, le 3e terme est toujours différent. 

 

  • 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, …
  • 0, 1, 3, 7, 11, 16, …
  • 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, …

 

Donc en précisant ce 3e terme, on vient déterminer de quelle suite on parle plus précisément.

 

Résumons ce que nous venons de dire. Une suite s’écrit avec des nombres qu’on appelle termes qui sont séparés par une virgule et si la suite est infinie, on ajoute des points de suspension après avoir écrit juste assez de termes pour comprendre la régularité

 

Je pense qu’on est prêt pour attaquer la question de plein fouet!

 

Comment fait-on pour entendre une suite?

 

En guise d’exemple, je suggère qu’on conserve la suite 0, 1, 2, …

 

On pourrait associer une note à chaque chiffre et à ce moment-là, ça deviendrait possible d’écouter les nombres de n’importe quelle suite !

 

Bon, comment fait-on cela?

 

Mmmm…

 

J’ai trouvé!!! Google a souvent les réponses à nos questions quand on cherche un peu! Voici le laboratoire musical de Chrome!

Allons voir, dans ce contexte, à quoi ressemble la suite dont on parle depuis le début : (1, 2, 3, …)

 

Bon, ce n’est pas la séquence musicale la plus passionnante à écouter, mais on peut s’amuser beaucoup avec cet outil!

 

Je me demande comment on pourrait rendre ça un peu plus agréable.

 

Oh!

 

Et si j’essayais avec des nombres connus en prenant leur développement décimal comme suite de nombres! Par exemple, le début de la suite avec les décimales du nombre pi serait : (1, 4, 1, 5, 9, …).

 

Écoutons à quoi ressemblent les 100 premières décimales de pi :

Et les 100 premières décimales de e (base des logarithmes naturels):  

Et les 100 premières décimales de phi (le nombre d’or) : 

Bon, c’est certain que ça devient intéressant, mais on distingue très mal les variations entre les suites puisqu’il s’agit chaque fois de suites dont l’ordre d’apparition des nombres est pratiquement aléatoire.

 

Mais quand on écoute de la musique, il y a une régularité et c’est ce qui rend la pièce mélodique. Notre cerveau s’emballe quand il comprend la régularité!

 

Alors, je pourrais essayer de choisir des développements décimaux qui sont périodiques. Ça veut dire que la même partie se répète … c’est le cas des nombres rationnels.

 

Grosso modo, un nombre rationnel, c’est un nombre qu’on peut exprimer sous la forme d’une fraction. Officiellement, si je voulais être très précis, je dirais ceci :

 

Cette fois-ci, je suis un peu plus convaincu. Convaincu que ça peut servir de base à une pièce musicale. Même si ces suites sont loin de pouvoir remplacer toute la variété musicale que nous offrent les artistes, les mathématiques peuvent très certainement les inspirer! Voici par exemple une pièce culte du musicien Wintergatan:

https://youtu.be/IvUU8joBb1Q 

 

Spécialiste de l'apprentissage des mathématiques | Mathematics Learning Specialist