La richesse des mathématiques à travers une chanson de Noël

La richesse des mathématiques à travers une chanson de Noël
2019-12-13 Natalia Gomez

Quand j’ai commencé à enseigner les mathématiques dans les années 90, j’avais l’habitude de jouer à un jeu qu’on appelait, en cours de science, le bingo du tableau périodique, pour lequel j’utilisais différentes catégories de questions rappelant le jeu questionnaire Jeopardy. Bien évidemment, une de ces catégories portait sur les mathématiques. Cette année, les questions que j’ai posées impliquaient soit une réponse rapide soit une petite recherche ludique.

 

Une des questions qui a laissé les élèves perplexes est celle concernant la chanson « Les douze jours de Noël ». Celle-ci était pourtant simple :

 

Combien de cadeaux recevrez-vous au total à la fin de cette chanson?

 

Tout le monde, et je dis bien tout le monde, a répondu instinctivement 78, soit le résultat que l’on obtient en additionnant les nombres de 1 à 12. Les élèves s’entendaient tous pour dire que c’était la bonne réponse! Vous pouvez donc imaginer la confusion que j’ai semée en pointant un élève pour qu’il réponde à la question, alors que tous les autres agitaient frénétiquement la main, et en lui disant que cette réponse soumise avec tant d’assurance était incorrecte.

 

L’étonnement, mais aussi la curiosité de savoir pourquoi cette réponse était incorrecte, se sont emparés des élèves. En tant qu’enseignant, j’ai voulu laisser le doute mijoter quelque peu avant de leur fournir des indices pour approfondir cette question si innocente en apparence.

 

Et puis, à leur grand désespoir, je me suis mis à chanter la chanson!

 

« Le premier jour de Noël/J’ai reçu de mon ami/Une perdrix dans un poirier/Le deuxième jour de Noël/J’ai reçu de mon ami/deux tourterelles ET une perdrix dans un poirier… »

 

À chaque couplet, j’ai insisté sur le « ET ». Les élèves ont rapidement compris que le nombre de cadeaux reçus au deuxième jour était trois, et non deux! Une quête mathématique a donc été entreprise pour trouver le nombre exact de présents reçus au terme des douze jours.

 

Voici une représentation visuelle des cadeaux qui a permis aux élèves de voir où ils s’étaient trompés et qui, ironiquement, a révélé une partie de la solution :

Les élèves ont cru que cette représentation constituait le nombre total de présents reçus. Or, il ne s’agit que du nombre de cadeaux reçus le dernier jour, soit le douzième! Faites le test! Chantez la chanson et vous le verrez bien.

 

Quand les élèves se sont mis à compter le nombre de cadeaux reçus chaque jour, ils ont produit les nombres 1, 3, 6, 10, etc. qui sont des nombres triangulaires. Le nombre de cadeaux reçus au dernier jour est également un nombre triangulaire, comme le démontre la représentation. À ce moment, les élèves ont réalisé qu’ils devaient additionner tous ces nombres triangulaires pour obtenir la somme exacte de cadeaux reçus dans la chanson.

 

Un fait intéressant à propos de cette chanson est que les nombres qui y sont détaillés, soit les nombres de jours ainsi que le nombre de cadeaux reçus chaque jour et au total, s’imbriquent parfaitement dans le Triangle de Pascal.

La droite jaune désigne les journées tandis que la bleue correspond au nombre total de cadeaux reçus à la fin de chacune de ces journées. Cette représentation rappelle la forme d’un bâton de hockey, car vous pouvez descendre aussi bas que vous le souhaitez, puis formez la palette. Vous verrez alors que, dans ce cas-ci, la « palette » de 12 est 78, soit le nombre de cadeaux reçus en cette douzième journée. Le nombre encerclé en rose représente quant à lui la somme de tous les nombres triangulaires traversés par la droite bleue. Et il correspond à la réponse exacte. Ainsi, combien de cadeaux recevrez-vous à la fin de cette chanson? 364!

 

Il s’agit là d’une bonne question pour présenter aux élèves la magie du triangle de Pascal tout en célébrant le temps des fêtes!