Parole d’expert: explorer de nouvelles techniques de multiplication #2

By in Netmath-FR, Parole d'expert

Souvenez-vous, il y a deux semaines, notre expert Simon partait à la recherche de nouvelles manières d’aborder la multiplication. Dans ce nouvel article, il poursuit ses explorations et opère un petit tour du monde pour vous proposer trois autres techniques pour le moins originales – à essayer avec vos élèves ! Et n’hésitez pas à nous faire part de vos expériences et à poser vos questions : Simon y répondra dans notre prochaine vidéo.

La multiplication (2ème partie)

Après mon dernier article, je n’ai pas pu m’arrêter de chercher d’autres manières de multiplier. Voici ce que j’ai trouvé de plus !

Multiplier sans multiplication !

J’ai redécouvert cette manière d’appréhender la multiplication à partir de la décomposition en base deux. Une technique utilisée par les Égyptiens ! Voyez à quoi ça ressemble pour un très grand nombre.

Voici également un exemple impliquant des nombres plus petits:

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Dans ce dernier exemple, Anthony Canu fait le produit de 38 et 67.

Comment ça marche?

ÉTAPE 1: Additionner 67 à lui-même (134). Cette somme correspond à 2 x 67.

ÉTAPE 2: Additionner 134 à lui-même (268) pour obtenir l’équivalent de 4 X 67.

ÉTAPE 3: Additionner 268 à lui-même (536) pour obtenir l’équivalent de 8 x 67.

Ces nombres seront les pièces de base pour construire le produit entre les deux nombres.

ÉTAPE 4: Pour chacune des positions (unités, dizaines, centaines, …) dans le nombre de gauche, additionner les nombres qui correspondent à la valeur du chiffre qui s’y trouve. Pour les nombres pairs, on peut prendre directement le nombre correspondant dans la colonne de droite, alors qu’il faut obligatoire additionner deux ou trois valeurs ensemble pour obtenir un nombre impair. Par exemple, pour le 8, qui est à la position des unités, nous avons uniquement 536, alors que pour le 3, il faut additionner les nombres correspondans à 2 x 67 et 1 x 67.

Pourquoi ça fonctionne ?

Trois éléments peuvent nous permettre de mieux comprendre ce qui se passe :

  1. Comme dans notre algorithme, les nombres sont décalés vers la gauche en fonction de la position du nombre multiplié. C’est par exemple le cas des nombres 67 et 134 qui s’alignent avec le 3 qui est à la position des dizaines.
  2. En additionnant une seule fois les nombres 1, 2, 4 et 8, il est possible d’obtenir n’importe quel nombre entre 0 et 15. Par le fait même, n’importe quel nombre entre 0 et 9 !
  3. Multiplier par 3 est équivalent à multiplier par (2+1). Ce qui est également équivalent à faire la somme du produit par 2 et du produit par 1. Même chose pour 7 qui est équivalent à (4+2+1).

Ce faisant, les Égyptiens étaient en mesure d’éviter de multiplier lorsqu’ils faisaient des multiplications !

Urdhva-Tiryagbyham (Produit croisé)

Les Indiens ont une manière bien à eux de faire le produit de deux nombres. Vous trouverez d’ailleurs les rudiments de leurs méthodes ingénieuse dans ce livre. Comme c’était le cas de la multiplication avec jalousie, dont il est question dans mon dernier article, le principe repose sur l’identification des combinaisons dont le produit correspond à chacune des puissance de 10 (les positions des chiffres dans notre système de numération). Voici un exemple où l’on retrouve d’ailleurs un algorithme qui s’apparente au produit croisé.

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La beauté de leur algorithme vient de la simplicité du motif qui en découle (les lignes rouges à la droite). Par exemple pour obtenir 10 à partir du produit de puissances de 10, il y a deux possibilités : \(10^1 times 10^0\) et \(10^0 times 10^1\). C’est la raison pour laquelle on additionne les produits \(0times 1\) et \(2 times 3\) dans l’exemple précédent. On procède de la même manière pour les autres positions!

Si ça vous intéresse, je vous invite fortement à aller jeter un œil à ceci !

Multiplier avec des lignes !

Cette technique, dépendamment des sources, est attribuable aux japonais, aux chinois ou aux peuple maya. Dans tous les cas, voici à quoi ressemble la multiplication de 12 et 32.

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Pour les lignes verticales, il semble y avoir deux groupes. La ligne à gauche représente la dizaine du nombre 12 et les deux lignes de droites, les deux unités. La même chose vaut pour le nombre 32. 3 dizaines avec les lignes du haut et 2 unités avec les lignes du bas.

De la même manière qu’avec le produit croisé des Indiens, il faut retrouver ce qui permet de former des centaines. Pour avoir des centaines, il faut multiplier ensemble des dizaines \((10 times 10 = 100 )\). Ce produit est représenté par les points rouges dans l’illustration qui suit. Pour les dizaines (en vert), il y a deux possibilités : unités x dizaines = dizaines OU dizaines x unités = dizaines. Pour les unités, il faut absolument que ce soit des unités x unités. Bon, je vous entends déjà me dire que ce n’est pas rigoureux de dire dizaines x unités … vous avez raison. En réalité, on devrait parler de puissance de 10. Ainsi, pour obtenir un produit de \(10^1\), on peut avoir \(10^1 times 10^0\) OU \(10^0 times 10^1\). Satisfaits ?

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Encore une fois, je suis très curieux de savoir quelles sont les utilisations que vous faites peut-être déjà avec ces algorithmes en classe. Je suis curieux également de connaître la réaction des élèves. N’hésitez pas à commenter ! On apprécie vraiment de vous lire et nous sommes convaincus que nous ne sommes pas les seuls !

Simon B. Lavallée
Professeur de mathématiques et expert Netmaths

Références : Bunt, Lucas N.H., Phillip S. Jones, et Jack D. Bedient. 1976. The Historical Roots of Elementary Mathematics. Englewood Cliffs : Dover, 300 p.